În mod inductiv se introduce noţiunea de cub abstract multidimensional: 0°. Un cub cu dimensiunea 0 (respectiv 1) este un simplex cu aceeaşi dimensiune. Vidul cubului cu dimensiunea 0 (respectiv 1) coincide cu vidul simplexului cu aceeaşi dimensiune [1]. 1°. Relaţiile 2-are dintre cuburile 0 2 0 S1 , S , respectiv 0 4 0 3 S , S , determină cuburile ( , 0 ) 2 0 1 1 1 S = S S , ( , 0 ) 4 0 3 1 2 S = S S , ( , 0 ) 3 0 1 1 3 S = S S şi ( , 0 ) 4 0 2 1 4 S = S S . Între ultimele se iau relaţiile 2 şi 3-are ce determină un complex simplicial [2], format din ( , ), ( , , 0 ) 4 0 3 0 1 2 1 0 4 0 1 1 5 S = S S S = S S S şi ( , , 0 ) 4 0 2 0 1 2 2 S = S S S . Reuniunea de viduri o o o o I S S S1 5 2 2 2 1 2 = U U se numeşte 2-vidul cubului. o i i I S1 I 2 4 1 2 U U= = reprezintă un 2-cub. 2°. Fie că se cunoaşte noţiunea de i-cub I i şi de vid al acestuia, 1 ≤ i ≤ n −1. 3°. Se consideră cuburile 1 2 1 2 1 1 − , − , , n− n I n I n K I , între care se iau relaţiile i-are, 2 ≤ i ≤ n , ce conduc la un complex simplicial. Vidul cubului cu dimensiunea n, o I n , reprezintă reuniunea tuturor vidurilor cuburilor, formate mai sus. o n n i n i I n UI U I 1 2 1 − = = este un cub cu dimensiunea n. Km={I0, I1, ... , Im}, m = 1, n , este un complex cubic cu dimensiunea m, dacă: 1)Im≠Ø; 2)∀I s ∈Is, ∀I t ∈It, 2 ≤ s, t ≤ m, ∃I p ∈Ip, 1 ≤ p ≤ m , I s I I t = I p sau = I s I I t Ø. Fie F={ : m f Im→ Z }m=1,…,n – familia tuturor aplicaţiilor univoce ( ( ) ( ) m m m m f −I = − f I ), dacă I m ∈Im e orientat negativ, − I m . Notăm i m m i f (I ) = g şi convenim m i i g I . m i i m i i m i i m C q q L = g I + g I +K+ g I 1 1 2 2 , 2 ≤ m ≤ n este un -lanţ de cuburi. Complexul cubic Km, 2 ≤ m ≤ n , este o varietate cubică, dacă: 1) orice cub cu dimensiunea (m-1) e faţetă pentru 2m-cuburi din Km; 2) pentru ∀I m I m ∈ 1 2 , Km, există un lanţ de cuburi n-dimensionale din Km; 3) pentru ∀I p ∈Km, ∃I m ∈Km, I p ⊂ I m ; 4) pentru ∀ m ∈ j m i I , I