Să considerăm sistemul cubic de ecuaţii diferenţiale ( ) ( , ), (1 ) ( , ), 2 3 2 2 3 2 y x gx dxy by sx qx y nxy ly Q x y x y cx mx P x y              2  -  (1) în care coeficienţii sunt parametri reali arbitrari, iar x  x(t) şi y  y(t) sunt variabile reale, numit sistemul diferenţial cubic al oscilaţiilor neliniare. Originea de coordonate O(0,0) este un punct de echilibru al sistemului (1) cu rădăcinile ecuaţiei caracteristice pur imaginare  i 1,2 , adică de tip centru sau focar. Apare problema deosebirii centrului de focar, numită problema centrului. Deşi problema centrului a fost formulată la sfârşitul secolului al 19-lea, ea nu este complet rezolvată pentru sistemul (1). Rezolvarea ei ţine de integrabilitatea sistemului (1). Punctul de echilibru O(0,0) este centru pentru sistemul (1) atunci şi numai atunci când acest sistem posedă într-o vecinătate a lui O(0,0) o integrală primă analitică de forma F(x, y)  C sau un factor integrant analitic de forma (x, y) 1 (x, y),  k unde k sunt polinoame omogene de gradul k. Integrabilitatea sistemului (1) a fost cercetată în lucrarea [1] utilizând soluţiile algebrice ale sistemului sub formă de drepte şi conice invariante. În [1] a fost demonstrat că dacă  4  0, 2 m c  m  atunci sistemul (1) posedă două drepte invariante paralele de forma 2 ( 4 ) 0. 2 l 1,2   c  c  m x  Lucrarea de faţă îşi propune ca scop studiul integrabilităţii Darboux a sistemului (1) cu  4  0 2 m c  m  în prezenţa unei cubice invariante ireductibile de forma ( , ) 0, 3 2 2 0 3 2 1 2 2 2 1 3  x y  a3 0x  a x y  a xy  a y  x  y  (2) unde a30, a21, a12, a03  R şi (a30, a21, a12, a03)  0 . Vom determina condiţiile ca sistemul (1) să posede integrală primă (factor integrant), format din soluţiile algebrice l 1  0, l 2  0 şi   0: F x y  l l  3 C 1 2 1 2 ( , )    ( 1 2 3 1 2 ( , )     x y  l l  ), (3) unde 1 2 3  , , sunt numere complexe. Ţinând cont de [1], sistemul (1) posedă integrală primă (factor integrant) de forma (3) atunci şi numai atunci când se realizează identitatea: 0 ( , ) ( , ) ( , ) ( , )       y F x y Q x y x F x y P x y (4) 0 . ( , ) ( , ) ( , ) ( , )                            y Q x P y x y Q x y x x y P x y    (5) Egalând coeficienţii de pe lângă aceleaşi puteri ale lui x şi y în (4), (5), vom obţine un sistem format din 20 de ecuaţii algebrice în raport cu 1 2 3  , , şi coeficienţii cubicei (2). Soluţiile acestui sistem ne determină existenţa integralei prime (factorului integrant) de tip Darboux (3). Teorema 1. Sistemul diferenţial cubic (1) are integrală primă de tip Darboux (3) atunci şi numai atunci când se realizează una dintre următoarele două seturi de condiţii: (i) 0, ( 3 )/ 2, (4 4 10 6 6 3 )/6; 2 2 d  l  q  n   m s  bg  b  bc  c  cg  m (ii) 0, 3 , ( )/(2 ), 3( ), 2( ), 2 2 2 2 2 2 2 l  c   b g  b b d d m  b  d n   b  d ( )/(2 ), ( )/(2 ). 2 2 2 2 2 2 q  b b  d d s  b b  d d În cazul (i): 2 ( 4 ) , 2 1,2 l   c  c  m x 2( ) 3( ), 3 2 2   g  c  b x  x  y 3 4 4 3 , 3 4 4 3 , 2 4 . 2 3 2 2 2 1  c  m  b  c   c  m  b  c    c  m În cazul (ii): 2 (3 3 12 ) , 2 2 1,2 l   b i b  d x ( ) ( 2 ) 3 ( ), 2 2 2 2   bx  dy bx  dy  d x  y 1, 1. 1 2  3   Teorema 2. Sistemul diferenţial cubic (1) are factor integrant de tip Darboux (3) atunci şi numai atunci când se realizează una dintre următoarele două seturi de condiţii: (iii) l  d(5bc  4g)/9, m  2(c 2b2g)(b g), n  (5bc  4g)(2bc  4g)/3, ( 2 )/3, ( 2 4 )(2 )/9, (4 2 )(2 4 ); 2 q  d c  b  g s  c  b g bc  g d  b g c bc  g (iv) 0, , (2 ), 2 , , 16 (2 )/(3 ), 16 3 0. 2 2 2 l  g  b c n  b b c m   n s  n q  b b c d b  d  În cazul (iii): (2 4 ) 2 (4 2 ) 3( ), 3 2 2 2 2   b  g c x  dx y  b c  g xy  x  y 1 2( ) , 1 l   b  g x 1 ( 2 2 ) , 2 l   c  b  g x 0, ( 3)/ 2, ( 1)/ 2. 1  2   3   În cazul (iv): (9 ) 12(1 )( ), 2 2 2 2   d x  y y  bx x  y 1 2 , l1   bx 1 (2 ) , 2 l   b  c x 1, 0, ( 4)/3. 1   2  3   Teorema ce urmează se referă la problema centrului, şi este o completare a Teoremelor 1 şi 2. Teorema 3. Dacă se realizează una din condiţiile (i)-(iv), atunci sistemul diferenţial cubic (1) are în originea de coordonate O(0,0) punct de echilibru de tip centru.