Fie G  (X;U) este graf conex simplu. Segmentul metric x, y reprezintă mulțimea tuturor vârfurilor de pe drumurile de lungime minimă care unesc vârfurile x, y  X [1, p. 21]. Mulțimea M se numește convexă, dacă x, y  M pentru orice x, y  M [1, p. 21]. 2-acoperire convexă a grafului G este familia din două mulțimi convexe 1 2 X , X care satisfac relațiile: X1  X2  X , X1  X2 , X2  X1 . În general, p-acoperire convexă a grafului G pentru p  2 este definită în [2, p. 2]. Vom numi mulțimea M trivială, dacă M  1 sau M  2 . Asemănător, vom numi mulțimea M netrivială, dacă M  3 . Fie ( ) { , } P2,t X  Mt Mnt este familia de acoperire a grafului G  (X;U) cu două mulțimi convexe, unde Mt este mulțime convexă trivială. Astfel definită familia ( ) P2,t X se va numi (2,t)-acoperire convexă a grafului.Fie ( ) { , } P2,nt X  M1 M2 este familia de acoperire a grafului G  (X;U) cu două mulțimi convexe netriviale, adică 3 M1  , 3 M 2  . Familia ( ) P2,nt X se va numi (2,nt)-acoperire convexă a grafului G. Fie ( ) { ( ), ( ),..., ( )} ~ 2, 2 2, 1 2, X 2, X X X k P t  P t P t P t , k 1 este setul din toate (2,t)-acoperirile convexe posibile ale grafului G  (X;U). Rezultate Determinarea dacă un graf conține 2-acoperire convexă este o problemă NP-completă [3, p.13]. Însă ușor se verifică dacă un graf este acoperibil cu două mulțimi convexe, una dintre care este trivială. Rezultă că determinarea dacă un graf este acoperibil cu două mulțimi convexe netriviale este o problemă NP-completă. În continuare, sunt expuse unele rezultate ce țin de determinarea existenței (2,nt)-acoperirii convexe în baza (2,t)-acoperirilor convexe. Orice graf conex G  (X;U), 2  X  3 conține (2,t)-acoperire convexă, dar nu conține (2,nt)-acoperire convexă. Mai jos sunt expuse rezultatele pentru cazul X  4 . Nota 1. Graf conex G(X;U), X  4 conține (2,t)-acoperire convexă. Nota 2. Graf conex G(X,U) , X  4, G  H (Fig. 1) conține (2,nt)- acoperire convexă.Teorema 1. Pentru graful conex G  (X;U), X  4 sunt echivalente afirmațiile: 1) Există vârf simplicial x X ; 2) Există familia de acoperire ( ) { { }, \{ }} 2, X M x M X x P t  t  nt  ; 3) Există familia de acoperire ( ) { { , }, \{ }} 2, X M x y M X x P t  t  nt  . Teorema 2. Graful conex G  (X;U), X  4 , care conține vârfuri simpliciale, conține (2,nt)-acoperire convexă. Teorema 3. Pentru graful conex G  (X;U), X  5, care nu conține vârfuri simpliciale, sunt echivalente afirmațiile:1) Există două vârfuri adiacente x, y X , mulțimile A  Г(x) \{y},B  Г(y) \{x} sunt clici în G, A 1, B 1 și pentru orice două vârfuri neadiacente a  A și b B , are loc relația d(a,b)  2 ; 2) Există familia de acoperire ( ) { { , }, \{ , }} 2, X M x y M X x y P t  t  nt  . Teorema 4. Dacă setul de acoperiri ( ) ~ P2,t X a grafului conex G  (X;U), X  5 conține două (2,t)-acoperiri convexe în care mulțimile triviale au intersecția vidă, atunci G conține (2,nt)-acoperire convexă. Teorema 5. Pentru graful conex G  (X;U), X  5, care nu conține vârfuri simpliciale, ( ) 2 ~ 2, X  k  P t și intersecția mulțimilor triviale i Mt , 1 i  k a oricăror două (2,t)-acoperiri convexe nu este vidă, are loc unul din două cazuri: 1) 3 ~ 2,  P t și reuniunea 1 2 3 Mt  Mt  Mt generează în G un triunghi; 2) 1 1   k i i Mt . Teorema 6. Dacă pentru graful conex G  (X;U), X  5, care nu conține vârfuri simpliciale, are loc: { ( ) { , }:1 3} ~ 2,  2, X  M M  i  i nt i t i P t P t și reuniunea 1 2 3 Mt  Mt  Mt generează în G un triunghi, atunci G conține (2,nt)-acoperire convexă. Teorema 7. Dacă pentru graful conex G  (X;U), X  5, care nu conține vârfuri simpliciale, are loc: X M a b M i k i i nt i t i t { t ( ) { { , }, }:1  ~ P2, P2, și k  3}, atunci G conține (2,nt)-acoperire convexă netrivială. Teorema 8. Graful conex G F (Fig. 2) nu conține (2, nt)-acoperire convexă.Teorema 9. Dacă pentru graful conex G  (X;U), X  5, G F, care nu conține vârfuri simpliciale, are loc: { ( ) { { , }, }, ( ) { { , }, }} ~ 2 2 2 2 2, 1 1 1 1 P2,t  P2,t X  Mt  a b Mn t P t X  Mt  a b Mn t , atunci G conține (2,nt)-acoperire convexă. Teorema 10. Graful complet Kn , n  4 conține (2,nt)-acoperire convexă. Teorema 11. Graful arbore G  (X;U) , X  4 conține (2,nt)-acoperire convexă. Teorema 12. Graful cordal G  (X;U) , X  4 conține (2,nt)-acoperire convexă.