Уменьшение размеров электронных чипов, необходимое для дальнейшего прогресса электронных устройств, требует развития современных теоретических подходов для предсказательного описания электронных и фононных свойств наноструктур. Большинство из используемых теоретических моделей в той или иной мере зависят от набора параметров, определяемых из сравнения рассчитанных величин со значениями, наблюдаемыми в эксперименте. В некоторых случаях это приводит как к количественному, так и качественному различию предсказываемых фононных и кинетических свойств. Рассмотрим проблему колебаний кристаллической решетки из первых принципов. Оператор невзаимодействующих электронов и фононов в базисе вторичного квантования имеет вид . 2 1              qj qj qj qj l HQ  lal al  b b (1) Здесь q – волновой вектор фонона, l  kl ,l, z символизирует набор квантовых чисел, включающий квазиимпульс l k , номер зоны l и проекцию спина  z электрона. Оператор Гамильтона системы электронов и ядер в нерелятивистском приближении определяется выражением ( (  . 4 , 2 , , 2 1 4 1 2 2 2 Vq e V m p H h a a b b b b V V V z e e a a h q n k lm e l q m iqr q lm iqR k q q C q C q j q j q j q j q q j q j lm lm l m k n (2) Помимо операторов кинетической энергии гамильтониан H (2) включает кулоновское взаимодействие всех частиц системы. Здесь k z – за-ряд k -го ядра, k Rn – радиус вектор, определяющий положение k -го ядра, смещение которого в n-ой ячейке, плотность заряда электронов и ядер равна        lm l m iqr nk iqR q zke l e m a a k n  . Гамильтониан (1) с исправленными собственными значениями выберем в качестве нулевого приближения. Будем считать, что спектр оператора HQ приближенно совпадает со спектром точного гамильтониана системы H , а параметры  l qj , оператора HQ найдем самосогласованно. Рассмотрим кристалл в форме произвольного параллелепипеда, размеры которого определяются векторами Li  Giai . Гамильтониан (2) определен в конечной произвольной области / 2 / 2 i i Li  L  x  нанострукруры. Для того чтобы разложить гамильтониан в ряд Фурье, необходимо доопределить его, периодически продолжив так, чтобы оператор Гамильтона был определен с периодом Li во всем пространстве. Доопределенный оператор Гамильтона является периодической функцией, удовлетворяющей условиям Борна-Кармана, которые в данном случае и приводят к размерному квантованию наноструктур. Спектр фононов определим, рассматривая Фурье-образ запаздывающей функции Грина ( ) exp( ( )   ( ), (0) , ( ) , 0. 0               Ht i q j Ht i q j q j q j q j G i i i t b t b dt b t e b e   (3) В приближении квазичастиц H  HQ функция Грина (3), с учетом правил коммутации фононных операторов рождения и уничтожения, определяется выражением , ( ) , ( ) (0),  ,  . 1 ( ) q j q j q j q q j j Q i t q j H t i q j H t i Q q j q j Q q j b t e b e b t e b b b i G q j Q Q                       (4) Используем далее соотношение, позволяющее перейти от представления Гайзенберга для оператора b (t) qj (3) с точным гамильтонианом к квазичастичному представлению b (t) Q qj из (4):          t Q Ht i Q q j Ht i Q q j q j e V b t t e dt V H H i b t b t 0 1 1 ( ) ( ) , ( ) , . 1 1    (5) Уравнение (5) легко доказать прямым дифференцированием по времени. После несложных преобразований получим точное соотношение для функции Грина:G G A q j q j q j q j q j q j q j Q q j q j                                        , ( ) exp ( ) ( ), (0) 2 ( ) 1 ( ) ( ) 1 ( ) 1 0 2 2                . (6) Как видно из уравнения (6), частоты фононов определяются полюсами функции Грина, а фононный спектр точного гамильтониана и квазичастичного совпадают, если выполняются условия ( ) ( ), 2 ( )(  , q j q j q j q j Q q j q j G G A i               (2  ( . 1/ 2 k q j iqn k q j iq R q n k q j q k q A V z e Nm e q e k n              (7) Каноническое преобразование гамильтониана (2) в квазичастичный гамильтониан (1) получить точно невозможно по причине ангармонизма колебаний и электрон-фононного взаимодействия. Трудность проблемы самосогласованного вычисления параметров гамильтониана (1)  l qj , с использованием оператора Гамильтона (2) состоит в том, что связь гамильтонианов (1) и (2) осуществляется только базисом квантования. Тем не менее этого достаточно для построения последовательной теории фононов. Используя уравнение (5) для оператора Ht i iq R q Ht i e e e k  n      , через который определяется Aqj (7), получим для динамической матрицы, c учетом двухфононных процессов, следующее выражение: ( ( , ) (0,0)  ( ( , ) ( ,0) . 4 ( ) 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 2                        g g g b k j kk kk q j k k q j kk q j q kk q kk q j k k b kk b k k k kk k k f q f V q q C q q C q m m e z z D q            (8) Здесь первое слагаемое определяет вклад однофононных процессов, а суммирование по q  в нем сводится к сумме по векторам обратной решетки . bg Дисперсия фононов зависит от функции ( , ) f 1 q  kk bg . При произвольной частоте  она имеет вид exp( ( ) . ( ) ( , ) ( ) ( ) ( , ) 1 1 2 1 k q b k g q b g kk g g bg W g W g i q b k k q b q q b q b f q                 (9) Как видно из уравнения (9), D (q) kk  из (8) зависит от продольной диэлектрической функции  (q,) на частоте фонона qj и в точке   0 . Аналогично могут быть определены вклады в динамическую матрицу от многофононных процессов. Согласно полученным результатам (8-9), динамическая матрица (8) сама зависит от неизвестных частот и векторов поляризации фононов. Такая нелинейная задача может быть решена методом последовательных приближений. Спектр электронов, с учетом поляризации кристалла, определяется выражением (0,0) 4 1 ( , ) 1 ( ,0) 1 2 2 2       k gb g g g ib k W k k b ib r ll q lm g iqr ml iqr ll iqr mm m l ll q m e z e e b e q e q h V n e e                     (10). Кулоновское прямое взаимодействие экранируется с помощью статической диэлектрической постоянной  (q,0) , тогда как обменное взаимодействие экранируется динамически на частоте перехода lm . Взаимодействие электронов с ядрами зависит от их смещений уже в приближении Хартри-Фока (10) и характеризуется фактором ДебаяУоллера k bg W e  . Поляризация уменьшает это взаимодействие в  (0,0) раз. Согласно полученным результатам, как динамическая матрица, так и уравнение для спектра электронов существенным образом зависят от продольной диэлектрической функции  (q,) . При расчете  (q,) ограничимся двумя компонентами кулоновского взаимодействия в качестве возмущения q C q V VC V    . Именно они и приводят к кулоновским расходимостям. Легко определить  (q,) в обобщенном приближении хаотических фаз ( , ) ~  (q,) 1 F q  ,   Ht i q Ht i q q q q i i t e t dt t e e V F q i ~ ~ 0 ( ) ( ) ~ ( ), (0) , ~ ( , ) ~                  , . ~ H  H V (11) Отметим, что разница между гамильтонианами H ~ и H в пределах бесконечного объема исчезает. Легко видеть, что обычное приближение хаотических фаз соответствует функции отклика (11) в приближении квазичастиц, т.е. в нулевом по возмущению V  H  HQ ~ приближении, ( , ) ( , )  ( ), (0) . ~ 0 ( ) e t dt V F q F q i q Q q q i i t Q              Тем не менее, при расчете функции Грина ( , ) ~ F q  (11) в первом порядке теории возмущений по V  H  HQ ~ расходящиеся в пределе q  0 слагаемые исключаются. В более высоких порядках теории возмущений кулоновские расходимости можно исключить с помощью флуктуационнодиссипационной теоремы. Формулы (11) позволяют рассчитать продольную диэлектрическую функцию кристалла с помощью регулярной процедуры.