n dinamica iteraţiilor unei funcţii, de o importanţă deosebită este proprietatea funcţiei de a fi haotică (a se vedea, de exemplu, [1-3]). În cele ce urmează, se stabilesc condiţii suficiente pentru o clasă de funcţii, şi anume, funcţii unimodale, să fie haotice. Fie funcţia f : I → I, unde I ⊂ R este un segment. Punctul x0 ∈ I se numeşte punct fix al funcţiei f, dacă f (x0) = x0. Punctul x0 ∈ I se numeşte punct periodic de perioada p al funcţiei f, dacă f p (x0) = x0. Mulţimea tuturor punctelor periodice ale funcţiei f se notează cu Per f. Vom nota f [U] { f (x)| x U} n   . Funcţia f : I → I se numeşte (topologic) tranzitivă, dacă pentru orice două intervale deschise U, V ⊂ I există n ∈ N* , astfel încât f U V   n [ ] . Funcţia f se numeşte sensibilă la date iniţiale, dacă există r > 0 astfel încât pentru orice x ∈ I şi orice ε > 0 există y ∈ I şi n ∈ N* , astfel încât |x – y| < ε şi |f n (x) – f n (y)| ≥ r. Funcţia f : I → I se numeşte haotică, dacă: 1. funcţia f este tranzitivă; 2. mulţimea punctelor periodice ale funcţiei f este densă în I (adică Per f  I ); 3. funcţia f este sensibilă la date iniţiale. Se ştie [1] că din condiţiile 1 şi 2 rezultă condiţia 3. Exemple de funcţii haotice: 1. Funcţia cort T : [0,1] → [0,1], T(x) = 1 – 2∙|2x – 1|. 2. Funcţia logistică F : [0,1] → [0,1], F (x) = 4x(1 – x). Ambele funcţii sunt din clasa funcţiilor unimodale. Funcţia continuă f : [0,1] → [0,1] se numeşte unimodală, dacă verifică următoarele proprietăţi:1. f(0) = f(1) = 0; 2. există a ∈ (0, 1) astfel încât funcţia f are maxim în x = a, ea este strict crescătoare pe segmentul [0, a] şi este strict descrescătoare pe segmentul [a, 1]. Lemă. Fie funcţia unimodală f : [0,1] → [0,1] cu punct de maxim x = a. Pentru ca funcţia f să fie haotică, este necesar ca f(a) = 1. Teoremă. Fie funcţia unimodală f : [0,1] → [0,1] cu punct de maxim x = a şi f(a) = 1. Presupunem că f este diferenţiabilă pe intervalele (0, a) şi (a, 1). Dacă | f (x)|1 pentru orice x ∈ (0, a) ∪ (a, 1), atunci funcţia f este haotică. Ideea demonstraţiei. Se arată mai întâi că funcţia f este tranzitivă. Pentru aceasta se ia un segment arbitrar I = [a, b] ⊂ [0, 1] şi se arată că există o iteraţie a acestui segment, de exemplu, f k [I] care conţine punctul x = a. Ca urmare, iteraţia f k+1[I] va conţine punctul x = 1, iar iteraţia f k+2[I] va conţine punctul x = 0. După aceasta se arată că există o iteraţie f k+m [I] care acoperă întreg segmentul [0, a], iar iteraţia f k+m+1[I] coincide cu segmentul [0, 1]. Dat fiind faptul că segmentul I a fost ales arbitrar, aceasta implică tranzitivitatea funcţiei f. Pentru a arăta că mulţimea punctelor periodice ale funcţiei f este densă pe segmentul [0, 1] se studiază iteraţiile f n ale funcţiei date. Funcţia f are două intervale de monotonie, pe segmentul [0, a] funcţia creşte monoton de la 0 la 1, iar pe segmentul [a, 1] funcţia descreşte monoton de la 1 la 0. La rândul său, funcţia f 2 are 4 segmente de monotonie, două de creştere şi două de descreştere. Prin inducţie se arată că funcţia f n are 2n segmente de monotonie, jumătate dintre ele fiind segmente pe care funcţia creşte de la 0 la 1, iar pe fiecare dintre celelalte segmente funcţia descreşte de la 1 la 0. Se arată că maximul lungimii acestor segmente de monotonie tinde la 0 când n → ∞. În acelaşi timp, pe fiecare dintre aceste segmente funcţia f n are un punct de intersecţie cu dreapta y = x. Prin urmare, pe fiecare dintre aceste segmente funcţia f are cel puţin un punct periodic. Din cele expuse rezultă că mulţimea punctelor periodice ale funcţiei f este densă pe segmentul [0, 1]. Prin urmare, funcţia f este haotică.∎ Remarcă. Dacă în ipotezele teoremei condiţia asupra derivatei se slăbeşte până la | f (x)|1, pentru orice x ∈ (0, a) ∪ (a, 1), atunci funcţia f nu este neapărat haotică. Aceasta o confirmă următoarea funcţie unimodală f : [0,1] → [0,1],                        1 , pentru 1/ 4 1, 4 4 1 7 1 / 7, pentru 1/8 1/ 4; 8 , pentru 0 1/8; ( ) 2 x x x x x x x f x care verifică condiţia | f (x)|1 pentru orice x ∈ (0, 1/8) ∪ (1/8, 1), dar nu este tranzitivă, şi, ca urmare, nu este nici haotică.