Наряду с такими общепризнанными в механике сплошных сред методов конечных элементов и конечных разностей, одним из наиболее перспективных и хорошо себя зарекомендовавших является метод граничных интегральных уравнений. Решающее преимущество этого метода состоит в снижении размерности рассматриваемых задач. С его помощью многие прикладные задачи математической физики, теории упругости и термоупругости, гидро и аэродинамики, дифракции и диффузии, анализа и синтеза антенн и других областей приводятся к нахождению решений различных типов сингулярных интегральных уравнений (СИУ) на различных контурах, в частности, к СИУ, содержащими комплексно сопряженные значения неизвестной функции и сдвиги Карлемана. Как известно, точное решение СИУ удается находить лишь в весьма редких частных случаях, причем даже в этих случаях доведение результата до числа требует неоднократного вычисления сингулярных интегралов, что сопряжено с большими теоретическими и вычислительными трудностями. В связи с этим обстоятельством разработка и обоснование методов приближенного решения различных классов СИУ является актуальной задачей, имеющей несомненный теоретический и, в особенности, представляющей важный практический интерес. В работе обсуждаются результаты полученные по разработке и теоретическому обоснованию прямых методов (коллокаций, квадратур, редукции, подобластей и др.) приближенного решения одномерных СИУ с комплексно сопряженными значениями неизвестной функции и со сдвигом Карлемана, в случае когда уравнения заданы на замкнутых кривых Ляпунова. Кроме вопросов чисто теоретического характера, такие как разрешимость вычислительных схем, сходимость приближенных решений в различных метриках, оценка скорости сходимости, устойчивость, исследуются также проблемы решения конкретных прикладных задач и доведения их вычислительных схем до численной реализации.