А. Л. Гринштейн родился в 1890 г. в мещанской семье г. Бельцы. В 1911 г. окончил среднюю школу. С 1912 по 1914 г. продолжил обучение за границей, где познакомился с Н. И. Бухариным. В революционное движение А. Л. Гринштейн вошел в 1905 г. в Одессе. В начале 1917 г. он активно участвовал в политической борьбе в Петрограде. Затем вместе с группой будущих руководителей Сфатул Цэрий прибыл в Кишинев. С января 1918 г. стал одним из организаторов Красной гвардии, секретарем и казначеем Военного совета Тираспольского отряда. В январе 1919 г. вступил в РКП(б). Румынским судом был заочно приговорен к пожизненной каторге. В 1920–1922 гг. А. Л. Гринштейн являлся членом коллегии Отдела по заграничной работе ЦК КП(б)У, ответственным за работу в Бессарабии. Фактически в это время он возглавлял коммунистическое подполье в крае. 29 июля 1924 г. Политбюро ЦК РКП(б) постановило: «Считать необходимым, прежде всего по политическим соображениям, выделение молдавского населения в специальную автономную республику в составе УССР и предложить ЦК КПУ дать соответствующие директивы украинским советским органам». Созданием Молдавской АССР непосредственно руководил А. Л. Гринштейн. Поскольку он был убежденным троцкистом, советская историография не акцентировала внимание на этом факте. А. Л. Гринштейн являлся активным сторонником молдавенистов (самобытников). 27 августа 1924 г. он изложил свои взгляды в статье, опубликованной в газете «Известия Одесского Губкома КП(б)У, Губисполкома и Губпрофсовета». В сентябре повторил их на заседаниях Политбюро ЦК КП(б)У и Политбюро ЦК РКП(б). В 1928 г. А. Л. Гринштейн исключен из партии за принадлежность к оппозиции. Проживал в г. Алма-Ата. Был в очередной раз арестован и 10 сентября 1937 г. приговорен к расстрелу. Реабилитирован посмертно.